Question

（2011•河西區模擬）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-6，0）、B（2，0），與y軸交于點C（0，-6）．
（1）求此拋物線的函數表達式，寫出它的對稱軸；
（2）若在拋物線的對稱軸上存在一點M，使△MBC的周長最小，求點M的坐標；
（3）若點P（0，k）為線段OC上的一個不與端點重合的動點，過點P作PD∥CM交x于點D，連接MD、MP，設△MPD的面積為S，求當點P運動到何處時S的值最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C的坐標分別代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出待定系數的值；
（2）由于BC的長為定值，若△MBC的周長最小，那么MB+MC的值最小；由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AC，那么AC與拋物線對稱軸的交點即為所求的M點；可先求出直線AC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程，即可求出M點的坐標；
（3）若DP∥MC，則△ODP∽△OAC，可設出P點的縱坐標，根據相似三角形的比例線段即可求出OD的長，那么三角形DMP的面積可由△OAC、△ADM、△MPC、△ODP的面積差求得，由此可得到關于S與P點縱坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得S的最大值及對應的P點坐標．
解答：解：（1）拋物線與y軸交于點C（0，-6），
∴c=-6；
而拋物線過點A（-6，0）、B（2，0），
∴；
解得，
即此拋物線的函數表達式為；
它的對稱軸為直線x=-2；

（2）∵A、B關于對稱軸直線x=-2對稱，M在對稱軸上，
∴AM=BM；
所以當點A，M，C共線時，△MBC的周長最小；
直線AC的解析式是：y=-x-6，
令x=-2，得y=-4，
即點M的坐標為（-2，-4）；

（3）點P（0，k）為線段OC上的一個不與端點重合的動點，
∴-6＜k＜0；
∵PD∥CM，
∴∠ODP=∠OAC，∠OPD=∠OCA，
∴△ODP∽△OAC，
∴，
而OA=OC，
∴OD=OP，即D（k，0）；
∴△MPD的面積S=S_△AOC-S_△AMD-S_△MCP-S_△POD；
即S==；
當k=-3時，S的值最大，最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法以及二次函數最值的應用等重要知識點，能夠結合軸對稱的性質和兩點間線段最短的知識來確定點M的位置是解答此題的關鍵．