Question

（2008•濟寧）如圖，△ABC內接于⊙O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D，AB²=AP•AD．
（1）求證：AB=AC；
（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為的中點，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB²=AP•AD，可以連接BP，構造相似三角形．根據相似三角形的性質得到∠APB=∠ABD，再根據圓周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根據等角對等邊證明結論；
（2）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，發現等邊三角形ABC，再根據點P為弧的中點，連接BP，發現30°的直角三角形，且BP是直徑，從而求得AP的長，AB的長．再根據已知中的條件求得AD的長．
解答：（1）證明：連接BP，
∵AB²=AP•AD，∴，
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）知AB=AC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P為的中點，
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，
∴BP為直徑，
∴BP過圓心O，
∴BP=2，
∴AP=BP=1，
∴AB²=BP²-AP²=3，
∵AB²=AP•AD，
∴AD==3．
點評：掌握相似三角形的性質和判定，能夠結合已知條件發現等邊三角形和30°的直角三角形，根據它們的性質分析求解，屬中等難度．