Question

【題目】如圖，已知A，B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，點(diǎn)A′與A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接A′B交l于點(diǎn)P．若A′B=a。

（1）求AP+PB。
（2）若點(diǎn)M是直線l上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，求證：AM+MB＞AP+PB。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A′與A關(guān)于直線l對(duì)稱，∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a
（2）解：∵點(diǎn)A′與A關(guān)于直線l對(duì)稱，∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由（1）可知：AP+PB=A′B
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：MA′+MB＞A′B，即AM+MB＞AP+PB
【解析】（1）軸對(duì)稱的性質(zhì)有：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 ， 線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。根據(jù)性質(zhì)可得PA+PB=PA′+PB=A′B=a。
（2）根據(jù)性質(zhì)有MA=MA′，所以AM+BM=MA′+MB，由（1）可知：AP+PB=A′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得結(jié)論。