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已知:如圖,AB⊥BC,AD∥BC,AB=3,AD=2.點P在線段AB上,連接PD,過點D作PD的垂線,與BC相交于點C.設線段AP的長為x.

(1)當AP=AD時,求線段PC的長;
(2)設△PDC的面積為y,求y關于x的函數解析式,并寫出函數的定義域;
(3)當△APD∽△DPC時,求線段BC的長.
【答案】分析:(1)過C作CE垂直于AE,交AD的延長線于E點,在由AB垂直于BC,PD垂直于CD,以及AD平行于BC,得到三個角為直角,再由AD與BC平行,利用兩直線平行同旁內角互補得到∠BAC為直角,利用三個角為直角的四邊形是矩形得到ABCE為矩形,根據矩形的對邊相等可得出CE=AB=3,利用同角的余角相等的一對角相等,再由一對直角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ADP與三角形DEC相似,由相似得比例,將AD與AP的長代入,得到DE=CE=3,在直角三角形ADP與直角三角形DEC中,分別利用勾股定理求出DP與DC的長,在直角三角形PDC中,利用勾股定理即可求出PC的長;
(2)在直角三角形APD中,由AP=x,AD=2,利用勾股定理表示出PD,再由三角形ADP與三角形DEC相似,由相似得比例,將AD與CE的長代入,根據表示出的PD表示出DC,根據三角形PDC為直角三角形,利用兩直角邊乘積的一半,即可表示出三角形PDC的面積,以及此時x的范圍;
(3)當三角形APD相似于三角形DPC時,即得三角形APD,三角形DPC,以及三角形DCE都相似,分兩種情況考慮:
(i)當點P與點B不重合時,可得出∠APD=∠DPC,由三角形APD與三角形DCE相似得比例,再由三角形APD與三角形DPC相似得比例,將比例式變形后相等,可得出DE=AD,由AD的長得出DE的長,根據AD+DE=AE求出AE的長,再由ABCE為矩形,可得出BC=AE,即可得到BC的長;(ii)當點P與點B重合時,如圖所示∠ABD=∠DBC,再由AD與BC平行,利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等,等量代換并利用等角對等邊得到AB=AD,為AB與AD不相等,故此種情況不存在,綜上,得到滿足題意的BC的長.
解答:解:(1)過點C作CE⊥AD,交AD的延長線于點E,

∵AB⊥BC,CE⊥AD,PD⊥CD,AD∥BC,
∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°,
∵AD∥BC,
∴∠BAE+∠ABC=180°,又∠ABC=90°,
∴∠BAE=90°,
∴四邊形ABCE為矩形,又AB=3,
∴CE=AB=3,
又∵∠ADP+∠EDC=90°,且∠DCE+∠EDC=90°,
∴∠ADP=∠DCE,又∠BAD=∠DEC=90°,
∴△APD∽△DCE,
=,
由AP=AD=2,CE=3,得:DE=CE=3,
在Rt△APD和Rt△DCE中,
根據勾股定理得:PD==2,CD==3
在Rt△PDC中,根據勾股定理得:
PC===;
(2)在Rt△APD中,由AD=2,AP=x,
根據勾股定理得:PD=,
∵△APD∽△DCE,且CE=3,AD=2,
==,
∴CD=PD=,
在Rt△PCD中,S△PCD=PD•CD=××
∴所求函數解析式為y=x2+3,此時函數的定義域為0≤x≤3;
(3)當△APD∽△DPC時,即得△APD∽△DPC∽△DCE,
根據題意,當△APD與△DPC相似時,有下列兩種情況:
(i)當點P與點B不重合時,可知∠APD=∠DPC,
由△APD∽△EDC,得=,即=,
由△APD∽△DPC,得=,
=,又AD=2,
∴DE=AD=2,
∴AE=AD+DE=4,
又∵∠ABC=∠BAE=∠AEC=90°,
∴四邊形ABCE是矩形,
∴BC=AE=4;
(ii)當點P與點B重合時,可知∠ABD=∠DCB,
又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
而AD=2,AB=3,即AD≠AB,
故此種情況不存在.

綜上,當△APD∽△DPC時,線段BC的長為4.
點評:此題考查了相似綜合題,涉及的知識有:相似三角形的判定與性質,矩形的判定與性質,以及勾股定理,利用了數形結合及分類討論的思想,靈活運用相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
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(2)若∠B=30°,AB=12,求
AC
的長.

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已知:如圖,AB=AC,DB=DC,求證:∠B=∠C.

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