Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，△DEF是邊長為a（a為小于3的常數）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點D在線段AC上，DE∥AB，設△DEF與△ABC重疊部分的周長為T。

（1）求證：點E到AC的距離為一常數；

（2）若AD=，當a=2時，求T的值；

（3）若點D運動到AC的中點處，請用含a的代數式表示T。

 

Answer 1

【答案】

（1）由銳角三角函數和平行的性質可證得。

（2）

（3）

【解析】

分析：（1）由銳角三角函數和平行的性質可證得。

（2）應用銳角三角函數求得三邊長即可。

（3）分點H在線段AC上和點H在線段AC的延長線上兩種情況討論即可。

解：（1）證明：如圖，過點E作EH⊥AC于點H，則EH即為點E到AC的距離。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，

∴。∴∠A=60⁰。

∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=60⁰。

∵DE=a（a為小于3的常數），

∴（常數）。

∴點E到AC的距離為一常數。

（2）當a=2時，，。

∵AD=，∴AH=。∴此時，點H在在線段AC上。

∴此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。

∴。

（3）當點D運動到AC的中點處時， ，

由得，，解得。

∴分兩種情況：

①當時，點H在線段AC上，此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。

∴。

②當時，點H在線段AC的延長線上，如圖，此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DCG。

根據三角形中位線定理，點G是BC的中點，

∴CD=，CG=,DG=。

∴。

綜上所述，。