Question

在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．
（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；
（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當∠BAO=45°時，因為四邊形ABCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點，能證明OAPB是正方形，從而求出P點的坐標．
（2）過P點作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．
（3）因為點P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．
解答：（1）解：∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PAB=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=90°，
∴四邊形OAPB是正方形，
∴P點的坐標為：（a，a）．

（2）證明：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴點P都在∠AOB的平分線上．

（3）解：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，則PE=h，設∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=，
∴PE=PA•cosα=•cosα，
又∵頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），
∴0°≤α＜45°，
∴＜h≤．
點評：本題考查了正方形的性質（四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一組對角）以及坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點．