Question

【題目】如圖，D、E是以AB為直徑的圓O上兩點，且∠AED=45°，過點D作DC∥AB．

（1）請判斷直線CD與圓O的位置關系，并說明理由；

（2）若圓O的半徑為，，求AE的長；

（3）過點D作，垂足為F，直接寫出線段AE、BE、DF之間的數量關系 ．

Answer 1

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）12；（3）

【解析】

（1）連接OD，如圖1，由圓周角定理可得∠AOD＝2∠AED＝90°，然后根據平行線的性質可得∠CDO＝∠AOD，再根據切線的判定方法即可證得結論；

（2）連接BE，如圖2，由圓周角定理可得∠B＝∠ADE，然后在直角△ABE中利用∠ABE的正弦解答即可；

（3）如圖3，作DG⊥直線EB于點G，連接DB，先證明ED平分∠AEB，再根據圓周角定理的推論和角平分線的性質得出：AD=BD，DF=DG，進一步即可根據HL證明Rt△ADF≌Rt△BDG，可得AF=BG，易證四邊形DFEG是正方形，從而有EF=EG，然后根據線段間的和差關系即可推出結論．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，

∴直線CD與⊙O相切；

（2）解：連接BE，如圖2，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，

∵∠B＝∠ADE，∴sin∠ADE＝sinB，

∵sinB＝，⊙O的半徑為，

∴，解得AE＝12；

（3）如圖3，作DG⊥直線EB于點G，連接DB，

∵∠AEB=90°，DF⊥AE，DG⊥EB，

∴四邊形DFEG是矩形，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，

∵∠AED＝45°，∴∠BED＝45°，

∴∠AED＝∠BED，

∴，∴AD=BD，

∵DF⊥AE，DG⊥EB，∠AED＝∠BED，

∴DF=DG，

∴Rt△ADF≌Rt△BDG（HL），

∴AF=BG，

∵DF⊥AE，∠AED＝45°，

∴∠AED＝∠EDF＝45°，

∴DF=EF，

∴矩形DFEG是正方形，

∴EF=EG，

∴AE+BE=AF+EF+EG－BG=2EF=2DF．

故答案為：．