Question

第一步，在一張矩形的紙片的一端，設MN=2，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，然后把紙片展平．
第三步，如圖3，折出內側矩形的對角線AB，并把它折到圖3中所示的AD處．則AD=

 

，CD=

 

．
第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，矩形BCDE就是藝術大師們所說的黃金矩形．則黃金矩形的寬與長之比

 

（結果可用根號表示）．
第五步，如圖5，作NP⊥BD于P，交BC于F，則CF=

 

．

Answer 1

分析：第三步，直接利用勾股定理得出AB的長，再利用折疊的性質得出AD的長，進而得出CD的長；
第四步，利用第三步中所求，直接得出黃金矩形的寬與長之比；
第五步，利用已知首先得出△NCF≌△BCD（ASA），進而得出FC=CD即可得出答案．

解答：解：第三步，如圖3，連接AB，
∵MN=2，則AC=1，BC=2，
∴AB=

5

，
∵折出內側矩形的對角線AB，并把它折到圖3中所示的AD處，
∴AD=AB=

5

，
∴CD=

5

-1；
故答案為：

5

，

5

-1；

第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，矩形BCDE就是藝術大師們所說的黃金矩形．
則黃金矩形的寬與長之比為：

CD

DE

=

5 -1

2

（結果可用根號表示）．
故答案為：

5 -1

2

；

第五步，∵NP⊥BD，
∴∠NPD=90°，
∴∠PND+∠D=90°，
∵∠D+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠PND，
在△NCF和△BCD中，

∠FNC=∠DBC NC=BC ∠NCF=∠BCD

，
∴△NCF≌△BCD（ASA），
∴FC=CD，
∵CD=

5 -1

2

，
則CF=

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點評：本題考查了幾何變換的綜合，涉及了折疊的性質、勾股定理，綜合考查的知識點較多，解答本題需要我們具有扎實的基本功，數形結合，靈活解答．