Question

如圖所示，直線l₁⊥l₂，垂足為點O，A，B是直線l₁上的兩點，且OB=2，AB=．直線l₁繞點O按逆時針方向旋轉，旋轉角度為α（0°＜α＜180°）．
（1）當α=60°時，在直線l₂上找點P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，此時OP=    ．
（2）當α在什么范圍內變化時，直線l₂上存在點P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，請用不等式表示α的取值范圍：    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點B為圓心，AB為半徑畫圓，與l₂的交點即是P點．則在直角三角形OBD中，解直角三角形，即可求解．
（2）根據垂線段最短，從點B向l₂作垂線BD，交點為D，則根據特殊角的三角函數可知∠B0P的度數，即可求解．
解答：解：（1）在直線l₂上找點P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，則以點B為圓心，AB為半徑畫圓即可．與l₂的交點就是點P．從B點作OP的高BD，則在直角三角形OBD中，解直角三角形可知：OD=，所以PO=-1或+1．

（2）如圖，作BC⊥L₂于C點．
在△PBC中，BC＜BP．
∵BP=BA=，
∴BC＜，
∴cos∠OBC=＜，
∴∠OBC＞45°
而α=90°時兩直線重合，
∴∠OBC≠90°，
∴45°＜α＜90°；
同理當l₁旋轉到l₂的左邊時∠OBC＞45°，
∴α=90°+∠OBC，
而0°＜a＜135°，
∴90°＜α＜135°，
所以45°＜α＜90°或90°＜α＜135°．
點評：本題綜合考查了旋轉與等腰三角形的知識，注意要做等腰三角形，腰一端的為頂點畫圓是最好的方法．