Question

如圖所示，直線L₁⊥L₂，垂足為點O，A，B是直線L₁上的兩點，且OB=2，AB=

2

．直線L₁繞點O按逆時針方向旋轉，旋轉角度為a（0°＜a＜108°）．當a在什么范圍內變化時，直線L₂上存在點P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，請用不等式表示a的取值范圍：

 

．

Answer 1

分析：△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，則需BP=AB．進一步求得點B到直線的最短距離及垂線段的長度，即可分析出旋轉角的取值范圍．

解答：解：如圖，作BC⊥L₂于C點．
在△PBC中，BC＜BP．
∵BP=BA=

2

，
∴BC＜

2

，
∴cos∠OBC=

CB

OB

＜

2

2

，
∴∠OBC＞45°
而α=90°時兩直線重合，
∴∠OBC≠90°，
∴45°≤α＜90°；
同理當l₁旋轉到l₂的左邊時∠OBC＜45°，
∴α=180°-∠OBC，
而0°＜a≤135°，
∴90°＜α≤135°，
所以45°≤α＜90°或90°＜α≤135°．

點評：此題注意分析出是等腰三角形應滿足的條件，再進一步求得點B到直線的最短距離及垂線段的長度，即可分析出旋轉角的取值范圍．