Question

如圖①、②是小明在一次課外活動中剪的兩塊直角三角形硬紙板．圖①中，∠C=90°，∠A=45°，AC=4cm；圖②中，∠F=90°，∠D=30°，EF=6cm．操作：小明將兩塊三角形硬紙板如圖③所示放置，將△ABC的直角邊CB與△DEF的斜邊DE重合，點B與點E重合，使△ABC沿ED方向向下滑動，當點C與點D重合時停止運動．
解決問題：
（1）在△ABC沿ED方向滑動的過程中，A、E兩點間的距離逐漸______．（填“不變”、“變大”或“變小”）．
（2）假如△ABC沿ED方向以每秒1cm的速度向下滑，小明經過進一步地探究，設想了如下幾個問題：
問題①：當△ABC向下滑動多少秒，A、E的連線與DF平行？
問題②：在△ABC向下滑動多少秒，以線段DC、AE、EF的長度為三邊長的三角形恰好構成直角三角形？
問題③：在△ABC向下滑動的過程中，是否存在某個位置，使得∠AEC=15°？如果存在，求出下滑時間；如果不存在，請說明理由．請你分別完成上述三個問題的解答過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，觀察圖形，A、E兩點間的距離逐漸變大；
（2）問題①：根據“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得ED=12cm．由等腰直角△的長度；
②設DC=x，則AE²=EC²+AC²=（12-x）²+16，再分情況討論：AE為斜邊；CD為斜邊；EF為斜邊．綜合分析即可求得CD的長度；
③假設∠AEC=15°，則通過三角形外角定理和三角形內角和定理求得∠EAB=30°，如圖3，過點A作∠BAE的平分線，交DE于點P．則∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
所以在直角△ACP中，∠APC=30°，這與∠APC＞∠AEC相矛盾．
解答：解：（1）根據圖1知，在△ABC沿ED方向滑動的過程中，A、E兩點間的距離逐漸變大．

（2）問題①：如圖2，∵∠F=90°，∠D=30°，EF=6cm
∴DE=12cm．
∵∠ACB=90°，∠A=45°，AC=4cm
∴BC=AC=4cm
連接AE，設AE∥DF．
∴∠AEC=∠D=30°，
∴在Rt△ACE中，EC=4cm
∴BE=EC-BC=（4-4）cm，
∴△ABC向下滑動的時間是（4-4）÷1=4-4（秒），即當△ABC向下滑動（4-4）秒時，A、E的連線與DF平行；

問題②：設CD=x，在Rt△ACE中，AE²=EC²+AC²=（12-x）²+16，
∵DE=12cm，BC=4cm，
∴CD≤8cm，
（I）當AE為斜邊時，
由CD²+EF²=AE²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=，
∴此時△ABC向下滑動的時間是÷1=（秒）；
（II）當CD為斜邊時，
由AE²+EF²=CD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=＞8（不合題意舍去）；
（III）當EF為斜邊時，
由CD²+AE²=EF²得，x²+（12-x）²+16=36，x²-24x+160=0，
方程無解，
∴由（I）、（II）、（III）得，當△ABC向下滑動秒時，以線段DC、AE、EF的長度為三邊長的三角形恰好構成直角三角形；

問題③：不存在這樣的位置，使得∠AEC=15°．
理由如下：
假設∠AEC=15°，則∠EAB=180°-∠AEC-∠ABE=30°．
如圖3，過點A作∠BAE的平分線，交DE于點P．
則∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
∴∠APC=30°，這與∠APC＞∠AEC相矛盾．∴不存在這樣的位置，使得∠AEC=15°．
故答案為：變大．
點評：本題把相似三角形的判定和勾股定理結合求解．綜合性強，難度大．考查學生綜合運用數學知識的能力．注意解題的方法不惟一，可讓學生采用不同方法求解，培養學生的思維能力．