Question

如圖，直線y=

3

4

x+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰落在直線y=

3

4

x+3上，若N點在第二象限內，則tan∠AON的值為（　　）

• A．

  1

  7

• B．

  1

  6

• C．

  1

  5

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：過O作OC⊥AB于C，過N作ND⊥OA于D，設N的坐標是（x，

3

4

x+3），得出DN=

3

4

x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面積公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根據sin45°=

OC

ON

求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（

3

4

x+3）²+（-x）²=(

12 2

5

)2，求出N的坐標，得出ND、OD，代入tan∠AON=

ND

OD

求出即可．

解答：解：
過O作OC⊥AB于C，過N作ND⊥OA于D，
∵N在直線y=

3

4

x+3上，
∴設N的坐標是（x，

3

4

x+3），
則DN=

3

4

x+3，OD=-x，
y=

3

4

x+3，
當x=0時，y=3，
當y=0時，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面積公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=

12

5

，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=

OC

ON

=

12 5

ON

，
∴ON=

12 2

5

，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（

3

4

x+3）²+（-x）²=(

12 2

5

)2，
解得：x₁=-

84

25

，x₂=

12

25

，
∵N在第二象限，
∴x只能是-

84

25

，

3

4

x+3=

12

25

，
即ND=

12

25

，OD=

84

25

，
tan∠AON=

ND

OD

=

1

7

．
故選A．

點評：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點的運用，主要考查學生運用這些性質進行計算的能力，題目比較典型，綜合性比較強．