Question

A是直線l外一點，且A到直線l的距離AO=10，P是AO上一點，以A為圓心，AP為半徑作圓，過O作⊙A的切線OB，切點為B，延長BP交l于C．
（1）證明：OB=OC；
（2）若PC=4，求半徑AB的長；
（3）作O關于直線BC軸對稱點為O′，若O′恰好落在⊙A上，求此時的弧長．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AP，
∴∠1=∠2=∠3，
∵BO為圓的切線，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵AO⊥l，
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；

（2）解：設半徑AB=r，則在Rt△AOB中，OA=10，
根據勾股定理得：OB²=10²-r²，
同理得到：OC²=（4）²-（10-r）²，
由（1）得：10²-r²=（4）²-（10-r）²，
解得：r=6；

（3）解：∵∠OBC=∠O′BC=∠OCB，
∴BO′∥OC，
∵AO⊥OC，
∴BO′被AP平分，
∴∠AOB=30°，
∴AB=5，∠BAO′=120°，
∴BO′的弧長為=．
分析：（1）由AB=AP，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等得到∠1=∠2=∠3，由BO為圓A的切線，及AO垂直于l，利用切線的性質及垂直的定義得到一對角為直角，利用等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）設AB=r，在直角三角形AOB中，由AO=10，利用勾股定理表示出BO，由AO-AP表示出OP，再由PC的長，利用勾股定理表示出OC，由OB=OC列出方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑；
（3）根據題意作出相應的圖形，如備用圖所示，由對稱性得到一對內錯角相等，利用內錯角相等得到BO′平行于l，由AO垂直于BO′，利用垂徑定理得到AP平分BO′，求出∠AOB為30度，進而求出∠BAO′為120度，根據AO長求出AB的長，利用弧長公式即可求出所求．
點評：此題考查切線的性質，勾股定理，弧長的計算，平行線的判定，含30度直角三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．