Question

如圖，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直線為x軸，以垂直于底邊的腰OC所在的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，CD和OB的長是方程x²-5x+4=0的兩個根．
（1）試求S_△OCD：S_△ODB的值；
（2）若OD²=CD•OB，試求直線DB的解析式；
（3）在（2）的條件下，線段OD上是否存在一點P，過P做PM∥x軸交y軸于M，交DB于N，過N作NQ∥y軸交x軸于Q，則四邊形MNQO的面積等于梯形OBDC面積的一半？若存在，請說明理由，并求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由方程x²-5x+4=0解得
x₁=1，x₂=4，
即CD=1，OB=4；
S_△OCD=CD•OC=OC；
S_△ODB=OB•OC=2OC，
∴S_△OCD：S_△ODB=．

（2）∵OD²=CD•OB即OD=2．過點D作DE⊥OB于E．
點D（1，），點B（4，0），
∴設直線DB的解析式為y=kx+b，則有．
解得k=，b=，所求直線DB的解析式為y=x+．

（3）存在點P，理由如下：
由題意，得
直線OD的解析式為y=x，設P點的坐標（a，b），
∴N點縱坐標為a，
∴a=x+．
∴x=4-3a，
∴（4-3a）×a=即12a²-16a+5=0．
∵（-16）²-4×12×5=16＞0，
∴解得a₁=，a₂=．
∴點P坐標為（，）或（，）．
分析：（1）求出程x²-5x+4=0的兩根，可知CD=1，OB=4；分別用OC表示出△OCD與△ODB的面積，再求出比值；
（2）OD²=CD•OB即OD=2，過點D作DE⊥OB于E．可分別求出B，D兩點的坐標，用待定系數法求出過這兩點直線的解析式；
（3）直線OD的解析式為y=x，設P點的坐標（a，b），N點縱坐標為a，代入直線DB的解析式即可求出x的值．
點評：此題比較復雜，把一次函數與一元二次方程，梯形的性質相結合，使題目具有一定的綜合性，是一道好題．