Question

（2010•溫州模擬）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A（0，3）和點B（3，0），其頂點記為點C．
（1）確定此二次函數的解析式，并寫出頂點C的坐標；
（2）將直線CB向上平移3個單位長度，求平移后直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，能否在直線上l找一點D，使得以點C、B、D、O為頂點的四邊形是等腰梯形．若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別把點A（0，3）和點B（3，0），代入二次函數y=x²+bx+c中得b=-4，c=3，求得二次函數的解析式；
（2）利于平移的性質，上加下減可知直線CB向上平移3個單位長度，求得平移后直線l的解析式；
（3）若四邊形CBDO為等腰梯形，則只能BD=CO，且BC≠DO．設D（x，x），則利于兩點間的距離公式可得D（1，1）或D（2，2），根據實際意義舍去D（1，1）；若四邊形CBOD為等腰梯形，則只能BO=CD，且BC≠DO，同理可得：D（-1，-1）或D（2，2），根據實際意義舍去D（-1，-1）；從而求得點D的坐標．
解答：解：（1）把A（0，3）和B（3，0），代入y=x²+bx+c，
得：，
解得：，
所以，所求二次函數的解析式為：y=x²-4x+3
所以，頂點C的坐標為（2，-1）

（2）由待定系數法可求得直線BC的解析式為：y=x-3，
所以，直線l的解析式為：y=x

（3）能．
由直線l∥BC，即OD∥BC，可知：
若四邊形CBDO為等腰梯形，則只能BD=CO，且BC≠DO
∵點D為直線l：y=x上的一點
∴設D（x，x），則可得：①
解得：x₁=1，x₂=2經檢驗，x₁=1，x₂=2都是方程①的根
∴D（1，1）或D（2，2）
但當取D（1，1）時，四邊形CBDO為平行四邊形，不合題意，舍去
若四邊形CBOD為等腰梯形，則只能BO=CD，且BC≠DO
同理可得：D（-1，-1）或D（2，2）
但當取D（-1，-1）時，四邊形CBOD為平行四邊形，不合題意，舍去
故所求的點D的坐標為（2，2）．
點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．