Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D為BC中點，連結AD，過點D作DE⊥AD，交AB的延長線于E．
（1）若AD=，求△ABC的面積；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△ABC中，∠C所對的直角邊是斜邊的一半，則AC=2AB．設AB=k，則AC=2k，BC=k；然后，由中點的性質、結合在Rt△ABD中的勾股定理求得k的值；最后，根據直角三角形的面積公式來求△ABC的面積；
（2）由相似三角形△ABD∽△DBE的對應邊成比例證得，然后把相關線段的長度代入該比例式即可求得線段BE的長度，再將其代入所求的代數式求值即可．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB
設AB=k，則AC=2k，BC=k，
∵D為BC中點，
∴BD=DC=k
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，AD=
∴k²+（k）²=（）²
∴k=2
∴AB=2，BC=2
∴；

（2）∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠E=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E
∵∠ABD=∠DBE=90°，
∴△ABD∽△DBE
∴
∴，
∴
∴．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．