【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從A點出發,在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發,在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,當△PBQ存在時,求運動多少秒使△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
(3)當△PBQ的面積最大時,在BC下方的拋物線上存在點K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K點坐標.
【答案】
(1)解:把點A(﹣2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得
,
解得 ,
所以該拋物線的解析式為:y= x2﹣
x﹣3;
(2)解:設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t.
∴PB=6﹣3t.
由題意得,點C的坐標為(0,﹣3).
在Rt△BOC中,BC= =5.
如圖1,過點Q作QH⊥AB于點H.
∴QH∥CO,
∴△BHQ∽△BOC,
∴ =
,即
=
,
∴HQ= t.
∴S△PBQ= PBHQ=
(6﹣3t)
t=﹣
t2+
t=﹣
(t﹣1)2+
.
當△PBQ存在時,0<t<2
∴當t=1時,
S△PBQ最大= .
答:運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是 ;
(3)解:設直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0).
把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得
,
解得 ,
∴直線BC的解析式為y= x﹣3.
∵點K在拋物線上.
∴設點K的坐標為(m, m2﹣
m﹣3).
如圖2,過點K作KE∥y軸,交BC于點E.則點E的坐標為(m, m﹣3).
∴EK= m﹣3﹣(
m2﹣
m﹣3)=﹣
m2+
m.
當△PBQ的面積最大時,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ= .
∴S△CBK= .
S△CBK=S△CEK+S△BEK= EKm+
EK(4﹣m)
= ×4EK
=2(﹣ m2+
m)
=﹣ m2+3m.
即:﹣ m2+3m=
.
解得 m1=1,m2=3.
∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣
).
【解析】方法二:(1)略.(2)設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t,PB=6﹣3t,
∴點C的坐標為(0,﹣3),
∵B(4,0),∴lBC:y= x﹣3,
過點Q作QH⊥AB于點H,
∴tan∠HBQ= ,∴sin∠HBQ=
,
∵BQ=t,∴HQ= t,
∴S△PBQ= PBHQ=
=﹣
,
∴當t=1時,S△PBQ最大= .
⑶過點K作KE⊥x軸交BC于點E,
∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ= ,
∴S△CBK= ,
設E(m, m﹣3),K(m,
),
S△CBK= =
=﹣
,
∴﹣ =
,
∴m1=1,m2=3,
∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣
).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,且EG、FH交于點O.若AC=4,則EG2+FH2=______.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,AE和過點C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PC=2PB.
(1)探究線段PB,AB之間的數量關系,并說明理由;
(2)若AD=3,求AB長.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=x與直線l2交點A的橫坐標為2,將直線l1沿y軸向下平移4個單位長度,得到直線l3,直線l3與y軸交于點B,與直線l2交于點C,點C的縱坐標為-2.直線l2與y軸交于點D.
(1)求直線l2的解析式;
(2)求△BDC的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分∠ABC交AC邊于E,兩線相交于F點.
(1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小;
(2)若D是BC的中點,∠ABE=30°,求證:△ABC是等邊三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】把一副撲克牌中的三張黑桃牌(它們的正面數字分別為3、4、5)洗勻后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戲,游戲規則如下:先由小王隨機抽取一張牌,記下牌面數字后放回,洗勻后正面朝下,再由小李隨機抽取一張牌,記下牌面數字.當兩張牌的牌面數字相同時,小王贏;當兩張牌的牌面數字不同時,小李贏.現請你分析游戲規則對雙方是否公平,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知, 四邊形, 連接
,
,
.
(1)如圖, 求證:
平分
;
(2)如圖,點
在
的延長線上,連接
交
于點
,求證:
;
(3)如圖3,在的條件下,連接
,點
在
延長線上,連接
,延長
與
延長線交于點
, 若
,
,
的面積與
的面積比為
,
,
,求
的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】綜合題
(1)如圖1,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD與BE交于F,連DE,求證:DFDA=DBDC;
(2)如圖2,若∠BAC=90°,AD⊥BC于D,F為線段AD上一點,在AD延長線上找一點G使AD2=DFDG,請畫出圖形找出點G并加以證明;
(3)如圖3,在(1)的條件下,若∠ABC=45°,EF=1,EC=3,直接寫出BD長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com