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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從A點出發,在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發,在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,當△PBQ存在時,求運動多少秒使△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
(3)當△PBQ的面積最大時,在BC下方的拋物線上存在點K,使SCBK:SPBQ=5:2,求K點坐標.

【答案】
(1)解:把點A(﹣2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得

解得

所以該拋物線的解析式為:y= x2 x﹣3;


(2)解:設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t.

∴PB=6﹣3t.

由題意得,點C的坐標為(0,﹣3).

在Rt△BOC中,BC= =5.

如圖1,過點Q作QH⊥AB于點H.

∴QH∥CO,

∴△BHQ∽△BOC,

= ,即 =

∴HQ= t.

∴SPBQ= PBHQ= (6﹣3t) t=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣1)2+

當△PBQ存在時,0<t<2

∴當t=1時,

SPBQ最大=

答:運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是


(3)解:設直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0).

把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得

解得

∴直線BC的解析式為y= x﹣3.

∵點K在拋物線上.

∴設點K的坐標為(m, m2 m﹣3).

如圖2,過點K作KE∥y軸,交BC于點E.則點E的坐標為(m, m﹣3).

∴EK= m﹣3﹣( m2 m﹣3)=﹣ m2+ m.

當△PBQ的面積最大時,∵SCBK:SPBQ=5:2,SPBQ=

∴SCBK=

SCBK=SCEK+SBEK= EKm+ EK(4﹣m)

= ×4EK

=2(﹣ m2+ m)

=﹣ m2+3m.

即:﹣ m2+3m=

解得 m1=1,m2=3.

∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).


【解析】方法二:(1)略.(2)設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t,PB=6﹣3t,

∴點C的坐標為(0,﹣3),

∵B(4,0),∴lBC:y= x﹣3,

過點Q作QH⊥AB于點H,

∴tan∠HBQ= ,∴sin∠HBQ=

∵BQ=t,∴HQ= t,

∴SPBQ= PBHQ= =﹣

∴當t=1時,SPBQ最大=

⑶過點K作KE⊥x軸交BC于點E,

∵SCBK:SPBQ=5:2,SPBQ=

∴SCBK=

設E(m, m﹣3),K(m, ),

SCBK= = =﹣

∴﹣ =

∴m1=1,m2=3,

∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).

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