Question

使得函數值為0的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數y=x-1，令y=0可得x=1，我們說1是函數y=x-1的零點．已知函數y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數）
（1）當m=0時，求該函數的零點．
（2）證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點．

Answer 1

分析：（1）根據函數的零點的定義，當m=0時，令y=0，解關于x的一元二次方程即可得解；
（2）令y=0，然后利用根的判別式列式，然后整理成完全平方式，根據非負數的性質判斷出△＞0，從而確定出有兩個函數零點．

解答：（1）解：當m=0時，令y=0，則x²-6=0，
解得x=±

6

，
所以，m=0時，該函數的零點為±

6

；

（2）證明：令y=0，則x²-2mx-2（m+3）=0，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×2（m+3），
=4m²+8m+24，
=4（m+1）²+20，
∵無論m為何值時，4（m+1）²≥0，
∴△=4（m+1）²+20＞0，
∴關于x的方程總有不相等的兩個實數根，
即，無論m取何值，該函數總有兩個零點．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，主要利用了拋物線與x軸的交點的求解方法，根的判別式的應用，讀懂題目信息，理解函數零點的定義是解題的關鍵．