Question

圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

解：（1）設拋物線為y=a（x﹣4）²﹣1，

∵拋物線經過點A（0，3），

∴3=a（0﹣4）²﹣1，；

∴拋物線為；（3分）

 

（2）相交．

證明：連接CE，則CE⊥BD，

當時，x₁=2，x₂=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），

對稱軸x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴=，即=，解得CE=，

∵＞2，

∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交．（7分）

 

（3）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；

可求出AC的解析式為；（8分）

設P點的坐標為（m，），

則Q點的坐標為（m，）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m²﹣2m+3）=﹣m²+m．

∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=×（﹣m²+m）×6

=﹣（m﹣3）²+；

∴當m=3時，△PAC的面積最大為；

此時，P點的坐標為（3，）．（10分）