Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，AF與DE交與點G．則下列結論中：①AF⊥DE；②AD＝BG；③GE+GF＝GC；④S△AGB＝2S四邊形ECFG．其中正確的是（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）證△ADF≌△DCE（SAS），∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，AF⊥DE，故①正確；（2）過點B作BH∥DE交AD于H，交AF于K，BH是AG的垂直平分線，BG＝AB＝AD，故②正確；（3）延長DE至M，使得EM＝GF，連接CM，△CEM≌△CFG（SAS），△MCG為等腰直角三角形，故③正確；（4）過G點作TL∥AD，交AB于T，交DC于L，則GL⊥AB，GL⊥DC，證得△DGF∽△DCE，根據相似三角形性質可以求出相應面積關系..

解：

∵正方形ABCD，E，F均為中點

∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝$\frac{1}{2}$BC

∵在△ADF和△DCE中，

∴△ADF≌△DCE（SAS）

∴∠AFD＝∠DEC

∵∠DEC+∠CDE＝90°

∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF

∴AF⊥DE，故①正確

如圖1，過點B作BH∥DE交AD于H，交AF于K

∵AF⊥DE，BH∥DE，E是BC的中點

∴BH⊥AG，H為AD的中點

∴BH是AG的垂直平分線

∴BG＝AB＝AD，故②正確

如圖2

延長DE至M，使得EM＝GF，連接CM

∵∠AFD＝∠DEC

∴∠CEM＝∠CFG

又∵E，F分別為BC，DC的中點

∴CF＝CE

∵在△CEM和△CFG中，

∴△CEM≌△CFG（SAS）

∴CM＝CG，∠ECM＝∠GCF

∵∠GCF+∠BCG＝90°

∴∠ECM+∠BCG＝∠MCG＝90°

∴△MCG為等腰直角三角形

∴GM＝GE+EM＝GE+GF＝

故③正確

如圖3，過G點作TL∥AD，交AB于T，交DC于L，則GL⊥AB，GL⊥DC

設EC＝x，則DC＝2x，DF＝x，由勾股定理得DE

由DE⊥GF，易證得△DGF∽△DCE

∴

∴

∴S四邊形ECFG＝S△DEC﹣

∴S四邊形ECFG＝x2，S△DGF＝x2

∵DF＝x

∴GL＝

∴TG＝

∴S△AGB＝

∴S△AGB＝2S四邊形ECFG

故④正確，

故選D．