Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，2）．過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．
（1）求直線DE的解析式和點M的坐標；
（2）若反比例函數y=

m

x

（x＞0）的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上；
（3）若反比例函數y=

m

x

（x＞0）的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設直線DE的解析式為y=kx+b，直接把點D，E代入解析式利用待定系數法即可求得直線DE的解析式，先根據矩形的性質求得點M的縱坐標，再代入一次函數解析式求得其橫坐標即可；
（2）利用點M求得反比例函數的解析式，根據一次函數求得點N的坐標，再代入反比例函數的解析式判斷是否成立即可；
（3）滿足條件的最內的雙曲線的m=4，最外的雙曲線的m=8，所以可得其取值范圍．

解答：解：（1）設直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點D，E的坐標為（0，3）、（6，0），
∴

3=b 0=6k+b

，
解得k=-

1

2

，b=3；
∴y=-

1

2

x+3；
∵點M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，
∴點M的縱坐標為2；
又∵點M在直線y=-

1

2

x+3上，
∴2=-

1

2

x+3；
∴x=2；
∴M（2，2）；

（2）∵y=

m

x

（x＞0）經過點M（2，2），
∴m=4；
∴y=

4

x

；
又∵點N在BC邊上，B（4，2），
∴點N的橫坐標為4；
∵點N在直線y=-

1

2

x+3上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵當x=4時，y=

4

x

=1，
∴點N在函數y=

4

x

的圖象上；

（3）當反比例函數y=

m

x

（x＞0）的圖象通過點M（2，2），N（4，1）時m的值最小，當反比例函數y=

m

x

（x＞0）的圖象通過點B（4，2）時m的值最大，
∴2=

m

2

，有m的值最小為4，
2=

m

4

，有m的值最大為8，
∴4≤m≤8．

點評：此題綜合考查了反比例函數與一次函數的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數上的點與反比例函數的k值之間的關系，并會根據函數解析式和點的坐標驗證某個點是否在函數圖象上．