Question

（2009•西城區二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD的中點，F為AD邊上一點，且不與點D重合，AF=a，
（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或者最小值？若存在，求出來；若不存在，說明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E是CD的中點”改為“CE=k•DE”，其中k為正整數，其他條件不變，請直接寫出tan∠AFB的值（用k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF，用含a的代數式表示S_{四邊形BCEF}=12-a，而0≤a＜4，即S_{四邊形BCEF}存在最大值12，S_{四邊形BCEF}不存在最小值；
（2）延長BC，FE交于點P，構造等腰三角形PEB，利用正方形的性質和中點的性質求得PB的長后，由勾股定理求得a的值．則可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
解答：解：（1）如圖，連接BE，
S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF=4²-×4×a-×2×（4-a）=12-a，
∵F為AD邊上一點，且不與點D重合，
∴0≤a＜4，
∴當點F與點A重合時，a=0，S_{四邊形BCEF}存在最大值12．
S_{四邊形BCEF}不存在最小值．

（2）如圖，延長BC，FE交于點P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E為CD的中點，
∴==1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=，a₂=4；
∵F點不與D點重合，
∴a=4不成立，a=，tan∠AFB==3．

（3）延長BC，FE交于點P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴==，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴（）²=（）²+（4-a）²整理，
×=（4-a）²，
（k+1）²=，
解得a=，
∴tan∠AFB==2k+1（k為正數）．
點評：本題利用了正方形的性質，中點的性質，等腰三角形的性質，三角形的面積公式，勾股定理求解．