Question

如下圖，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，D與原點重合，對角線BD所在的直線的函數表達式為y＝，BD的中點為M，AD＝8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動，同時P點從A點出發，繞矩形ABCD逆時針運動一周所用時間為28秒．

(1)求矩形ABCD的周長；

(2)出發5秒后，點P的坐標是多少？

(3)點P從A運動到B所經過的路線是一條線段，請求出線段所在直線的表達式；

(4)當P在BC上運動時，t為何值時，∠PMO是直角；

(5)當P在線段BC上運動時，寫出△OPC的面積(用含t的代數式表示)．t為何值時，△OPC的面積最大？

Answer 1

答案：
解析：

AD＝8，B點在y＝x上，則y＝6，AB＝6，矩形的周長為28　　2分 　　(2)∵P點繞矩形一周的時間為28秒，因此P點的速度為每秒1個單位，出發5秒后 　　OD＝5，∴D點坐標為(4，3)，　　1分 　　B點坐標為(12，3)，此時P點從A向上走了5個單位， 　　則P點的坐標為(12，8)　　1分 　　(3)P點運動的前的位置為(8，0)，5秒后運動到(12，8)，已知它運動的路線是一條線段， 　　設線段所在直線的表達式為y＝kx＋b， 　　∴，解得，∴直線表達式為y＝2x－16　　2分 　　(4)當P在BC上時，，6≤t≤14，PB＝6－t，BM＝5　　1分 　　當∠PMO是直角時，∠PMB＝90°，則有△PMB∽△DCB，∴　　2分 　　AD＝BC＝8，BD＝10，∴，t＝，即當t＝秒時，∠PMO＝90°．　　1分 　　(5)P在BC上時，6≤t≤14，此時OD＝t，CP＝14－t 　　∴D(，)，∴B(＋8，＋6)　　1分 　　∴S△OPC＝(14－t)(＋6)＝－＋42，(6≤t≤14)　　2分 　　∴△OPC的面積變化規律是一個開口向下的拋物線，對稱軸為t＝2， 　　所以t＝6時△OPC的面積最大．　　1分