Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD，BC相交于點E．

（1）求證：；

（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點P，過點P作PQ∥CB交⊙O于F，Q兩點（點F在線段PQ上），求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑為；（3）PQ=

【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠OBC=∠CBD，即可證；

（2）通過證明△ACE∽△BCA，可得，可得AC=2，由勾股定理可求AB的長，即可求⊙O的半徑；

（3）過點O作OH⊥FQ于點H，連接OQ，通過證明△APC∽△CPB，可得，可求PA=，即可求PO的長，通過證明△PHO∽△BCA，
可求PH，OH的長，由勾股定理可求HQ的長，即可求PQ的長．

解：（1）∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∵OC∥BD

∴∠OCB＝∠CBD

∴∠OBC＝∠CBD

∴

（2）連接AC，

∵CE＝1，EB＝3，

∴BC＝4

∵

∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB

∴△ACE∽△BCA

∴

∴AC2＝CBCE＝4×1

∴AC＝2，

∵AB是直徑

∴∠ACB＝90°

∴AB＝，

∴⊙O的半徑為.

（3）如圖，過點O作OH⊥FQ于點H，連接OQ，

∵PC是⊙O切線，

∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°

∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA

∴△APC∽△CPB

∴，

∴PC＝2PA，PC2＝PAPB

∴4PA2＝PA×（PA+2）

∴PA＝，

∴PO＝，

∵PQ∥BC

∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°

∴△PHO∽△BCA

∴，

即，

∴PH＝，OH＝，

∴HQ＝，

∴PQ＝PH+HQ＝.