Question

【題目】如圖，直線l1：y＝x+12與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與x軸、y軸分別交于C、B兩點(diǎn)，且AB：BC＝3：4．

（1）求直線l2的解析式，并直接判斷△ABC的形狀（不需說(shuō)明理由）；

（2）如圖1，P為直線l1上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為12，Q為直線l2上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ+CQ最小時(shí)，將線段PQ沿射線PA方向平移，平移后P、Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P'、Q'，當(dāng)OQ'+BQ'最小時(shí)，求點(diǎn)Q'的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1），△ABC為直角三角形；（2）Q'（ ）

【解析】

（1）根據(jù)l1求出A,B的坐標(biāo)，再根據(jù)AB：BC＝3：4．得出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出l2的解析式與△ABC的形狀；（2）由題意知當(dāng)P、Q、M三點(diǎn)共線，且PM⊥x軸時(shí)，PQ+CQ最小，利用直線平移的性質(zhì)與Q點(diǎn)坐標(biāo)求出l3的解析式，作點(diǎn)B（0，12）關(guān)于l3的對(duì)稱點(diǎn)B'，則B'（24，﹣6），連接OB'，與直線l3的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q'，再聯(lián)立l3與直線OB'即可求出Q'的坐標(biāo).

解：（1）由l1：y＝x+12得B（0,12），A（-9,0）

∴AB=15，

∵AB：BC＝3：4．

∴BC=20，故C（16,0）

故求得l2：，

∵AB=15，BC=20，AC= 9+16=25，故AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形．

（2）當(dāng)P、Q、M三點(diǎn)共線，且PM⊥x軸時(shí)，PQ+CQ最小，

∴Q（12，3）

平移過(guò)程中，點(diǎn)Q'在直線l3上移動(dòng)，

∵l3∥l1且l3經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（12，3），

∴l(xiāng)3：

作點(diǎn)B（0，12）關(guān)于l3的對(duì)稱點(diǎn)B'，則B'（24，﹣6），連接OB'，與直線l3的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q'，

∵直線OB'：，

∴解得，

∴Q'（）．