Question

4．如圖，Rt△ABC中，CD⊥AB于D
（1）求證：AC²=AD•AB；
（2）若AF平分∠CAB分別交CD、CB于E、F，G為EF中點，求證：∠AGD=∠B；
（3）若∠ABC=30°，求四邊形CEHF的面積與△ABC的面積比．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性質即可期初答案．
（2）先根據AF平分∠CAB證明△CEF為等腰三角形，由三線合一定理可知CH⊥EF，從而可知A、D、G、C四點共圓，由圓周角定理即可求證∠AGD=∠B．
（3）當∠ABC=30°時，可證明四邊形CEHF是菱形，從而可證明點E、H分別是AF、AB的中點，設S_△CGF=S_△CEG=S_△EGH=S_△GFH=x，從而可求出S_△FHB=S_△FHA=4x．

解答 證明：（1）∵∠A=∠A，∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
即AC²=AB•AD
（2）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∵∠CAF+∠CFA=∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFA
∴△CEF為等腰三角形
∵G為EF的中點
∴CH⊥EF
又CD⊥AB
∴A、D、G、C四點共圓，
∴∠AGD=∠ACD，
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AGD=∠B
（3）當∠ABC=30°時，
∴∠ACD=∠ABC=30°，
∴∠DCB=∠AFH=60°
由（2）可知：CH垂直平分EF，
∴△CEF與△HEF是等腰直角三角形，
∴△CEF與△HEF是等邊直角三角形，
∴四邊形CEHF是菱形，
∴AE=CF=EF=CE，
∴E是AF的中點，
同理可證：H是AB的中點，
設S_△CGF=S_△CEG=S_△EGH=S_△GFH=x
則S_△AEC=2x=S_△AEH
∴S_△FHB=S_△FHA=4x
∴S_{四邊形CEHF}：S_△ABC=1：3

點評 本題考查相似三角形綜合問題，涉及圓周角定理，等腰三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，需要學生靈活運用所學知識進行解答，題目較為綜合．