Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠C=90°，點M從點C出發沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動，到達點B停止運動，在點M的運動過程中，過點M作直線MN交AC于點N，且保持∠NMC=45°．再過點N作AC的垂線交AB于點F，連接MF，將△MNF關于直線NF對稱后得到△ENF．已知AC=8cm，BC=4cm，設點M運動時間為t（s），△ENF與△ANF重疊部分的面積為y（cm2）．

（1）用含t的代數式表示出NC與NF；

（2）在點M的運動過程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；

（3）求y與t的函數關系式及相應t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）CN=t，NF=；（2）在點M的運動過程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為；（3）y=﹣t2+2t（0＜t≤2）；y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可知：CN=CM=t，利用平行線分線段成比例定理

可得： ，由此即可求出NF；

（2）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，由對稱的性質得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，

MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質得出，得出方程，解方程

即可；

（3）分兩種情況：①當0＜t≤2時，由三角形面積得出

②當2＜t≤4時，作GH⊥NF于H，由（1）得：GH=NH，GH=2FH，得出

由三角形面積得出

解：（1）∵∠C=90°，∠NMC=45°，

∴CN=CM=t，

∵AC=8，

∴AN=8﹣t，

∵NF∥BC，

∴

∴

∴

（2）能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下：

連接ME交NF于O，如圖1所示：

由對稱的性質得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，

∵四邊形MNEF是正方形，

∴

∴

解得：

即在點M的運動過程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為；

（2）分兩種情況：

①當0＜t≤2時，

即

②當2＜t≤4時，如圖2所示：作GH⊥NF于H，

由（1）得： GH=NH，GH=2FH，

∴

∴

即