Question

邊長為整數的等腰三角形一腰上的中線將其周長分為1：2的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是

 

．

Answer 1

分析：設這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，再根據題意列出關于x、n、y的方程組，用n表示出x、y的值，由三角形的三邊關系舍去不符合條件的x、y的值，由n是正整數求出△ABC面積的最小值即可．

解答：解：設這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，得

x+ x 2 =n x 2 +y=2n

或

x+ x 2 =2n x 2 +y=n

，解得

x= 2n 3 y= 5n 3

或

x= 4n 3 y= n 3

∵2×

2n

3

＜

5n

3

（此時不能構成三角形，舍去）
∴取

x= 4n 3 y= n 3

其中n是3的倍數
∴三角形的面積S_△=

1

2

×

n

3

×

( 4n 3 )2-( n 6 )2

=

63

36

n²，對于S_△=

63

36

n²=

7

12

n²，
當n≥0時，S_△隨著n的增大而增大，故當n=3時，S_△=

3 7

4

取最�。�
故答案為：

3 7

4

．

點評：本題考查的是三角形的面積及三角形的三邊關系，根據題意列出關于x、n、y的方程組是解答此題的關鍵．