Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜邊AB上的一點，圓O過點A并與邊BC相切于點D，與邊AC相交于點E．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若圓O的半徑為4，∠B=30°，求AC長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，OD，構造出直角三角形，根據弦切角定理可知∠CDA=∠DFA，∠C=∠ADF，AD=AD；故△ACD≌△ADF，則AD是∠CAB的角平分線．
（2）因為∠B=30°，所以∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分線，故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．根據三角函數值的定義可求出AD，AC的值．
解答：解：（1）連接DF，OD，則∠ADF=90°，
因為BC是⊙O的切線，

所以∠CDA=∠DFA，△ACD≌△ADF，∠CAD=∠DAB．
即AD是∠CAB的角平分線．

（2）∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分線，
故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．
故AD=AF•cos30°=8×=4．
同理，AC=AD•cos30°=4×=6．故AD=4．AC=6．
點評：本題考查的是直角三角形及切線的性質，在解答此類題目時要注意添加輔助線，構造直角三角形．