Question

（2005•聊城）用總長為32m的籬笆墻圍成一個扇形的花園．
（1）試寫出扇形花園的面積y（m²）與半徑x（m）之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；
（2）用描點法作出函數的圖象；
（3）當扇形花園半徑為多少時，花園面積最大？最大面積是多少？此時這個扇形的圓心角是多大（精確到0.1度）？
（4）請回答：如果同樣用32m的籬笆圍成一個面積最大的矩形花園，這個花園的面積是多少？對比上面的結論，你有什么發現？

Answer 1

【答案】分析：（1）弧長為32-2x，根據扇形面積公式得關系式，根據半徑和弧長都大于0得x的取值范圍；
（2）取有代表性的點（對稱軸左右）連線成圖．
（3）運用函數性質求最大值．此題可根據所畫圖象求解．圓心角可根據弧長公式或面積公式求出；
（4）運用二次函數知識求圍成矩形花園時的最大面積，比較后回答．
解答：解：（1）∵扇形半徑為xm，
∴扇形的弧長為（32-2x）m．
由扇形面積公式得
y=（32-2x）x，
即y=-x²+16x．（3分）
自變量x的取值范圍是0＜x＜16．（4分）

（2）將函數關系式寫成y=-（x-8）²+64．
列表其圖象如圖所示：

x	2	4	6	8	10	12	14
y	28	48	60	64	60	48	28

（3）由圖象可知，當x=8時，y有最大值64．
即當扇形半徑為8m時，花園面積最大，最大面積為64m²．
設此時扇形的圓心角約為n°，
則•π•8²=64解得n≈114.6°．
因此，扇形的圓心角約為114.6°．（10分）

（4）這個矩形花園的面積也是64m²，與最大扇形花園面積相等（或答：周長相等的最大矩形面積與最大扇形的面積相等）．（12分）

點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．