Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分別是線段BO、DO上不與點O重合的點，且BE=DF．
（1）探究：當BC的長為多少時，四邊形AECF是菱形？并說明理由．
（2）當四邊形AECF是正方形時，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形性質求出OE=OF，得到平行四邊形AECF，根據菱形的性質推出AC⊥BD即可；
（2）根據含30度角的之間三角形性質和勾股定理求出OE、OF，OA、OC，BD，即可求出答案．

解答：解：（1）當BC=1時，四邊形AECF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
當BC=AB=1時，平行四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是菱形．

（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此時四邊形ABCD和AECF均為菱形．
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均為等邊三角形，且AO=CO=

1

2

，BO=DO=

3

2

，
當四邊形AECF是正方形時，EO=FO=AO=CO=

1

2

，
∴DF=DO-FO=

3

2

-

1

2

=

3 -1

2

，
答：DF長是

3 -1

2

．

點評：本題主要考查對正方形的性質，菱形的判定，平行四邊形的性質和判定，勾股定理，含30度角的之間三角形等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．