Question

已知，如圖：∠DME=∠A=∠B=α，M為線段AB中點，AE與BD交于C，交MD于F，ME交BD于G．
（1）求證；△EMF∽△EAM；
（2）連結FG，如果α=30°，AB=，AF=5，求FG的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠DME=∠A=∠B=α，∠MEF=∠AEM，
∴△EMF∽△EAM；

（2）解：連接FG、MC，過F作FK⊥BD，
∴∠α=30°，
∴∠DME=∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，∠FCK=60°，
∵M為線段AB中點，AB=6，
∴∠ACM=60°，
∴AC=BC=6，
∵∠BMG+∠AFM=150°，∠AMF+∠AFM=150°，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△BMG∽△AFM，
∴，
∵AF=5，
∴，
∴BG=，
∴CG=，FC=6-5=1，
∴FK=，CK=，
∴GK=，
∴FG==．
分析：（1）根據由兩對角相等的兩個三角形相似即可證明△EMF∽△EAM；
（2）連接FG、MC，過F作FK⊥BD，首先證明△BMG∽△AFM，利用相似的性質可得，因為AF=5，所以，進而求出BG，再求出FK和CK的值，利用勾股定理即可求出GK的值．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等邊三角形的性質與判定以及勾股定理的運用，此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．