Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長(zhǎng)CB，使EB=AD，連接AE．
（1）求證：AE=CA；
（2）若CA平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，試求四邊形AECD的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS可以證明△AEB≌△CAD，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等就可；
（2）根據(jù)所給的條件，可以發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形ABC和等腰三角形ACD和ABE．根據(jù)它們的性質(zhì)計(jì)算出每一條邊，然后計(jì)算其面積和中周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：法一：∵在梯形ABCD中，AD∥BC
∴∠BAD=∠ABE，AB=CD
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D．
在△AEB和△CAD中，

AB=CD ∠ABE=∠D BE=AD

∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA．
法二：連接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四邊形ADBE為平行四邊形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）解：已知∠ABC=∠DCB，又AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30度．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC=2．
∴AB=2，
則BC=4，AC=

BC2-AB2

=2

3

．
∴四邊形AECD的周長(zhǎng)為AD+DC+CE+AE=2+2+6+2

3

=10+2

3

．
過(guò)A作AF⊥CE于F，則AF=

1

2

AC=

3

∴四邊形AECD的面積為

1

2

(AD+CE)×AF=

1

2

(2+6)×

3

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與梯形有關(guān)的問(wèn)題，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)找到邊和角之間的關(guān)系，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．