Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與雙曲線相交于A(2，3)，B兩點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)的雙曲線上在意一點(diǎn)，直線PA交x軸于點(diǎn)M，連接PB交x軸于點(diǎn)N，若∠APN = 90°，則PM的長為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

過P作直線PE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AC⊥PE于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥PE于點(diǎn)D，先用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)的解析式，再求得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明△ACP∽△PDB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，求得t的值，再求AP的解析式，進(jìn)而求得PM的長．

解：過P作直線PE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AC⊥PE于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥PE于點(diǎn)D，如圖所示，
把A（2，3）代入y＝kx中，得3＝2k，
∴k＝，
∴直線AB的解析式為：y＝x，
把A（2，3）代入y＝中，得m＝6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝，
根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對稱性可得B（2，3），
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，），
則AC＝t2，PC＝3，BD＝t＋2，PD＝＋3，
∵∠ACP＝∠BDP＝90°，∠APN＝90°，
∴∠CAP＋∠APC＝∠APC＋∠BPD＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
∴△ACP∽△PDB，
∴，即，
解得，t＝2（A點(diǎn)的橫坐標(biāo)），或t＝3，
∴P（3，2），
設(shè)直線AP的解析式為：y＝ax＋b（a≠0），則，解得， ，
∴直線AP的解析式為：y＝x＋5，
令y＝0，得x＝5，
∴M（5，0），
∴PM＝＝，
故答案為：．