Question

（2008•臨夏州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．
（1）點A的坐標是______，點C的坐標是______；
（2）當t=______秒或______秒時，MN=AC；
（3）設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式；
（4）探求（3）中得到的函數S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據B點的坐標即可求出A、C的坐標．
（2）當MN=AC時，有兩種情況，①MN是△OAC的中位線，此時OM=OA=2，因此t=2；
②當MN是△ABC的中位線時，OM=OA=6，因此t=6；
（3）本題要分類進行討論：
①當直線m在AC下方或與AC重合時，即當0＜t≤4時，可根據△OMN∽△OAC，用兩三角形的相似比求出面積比，即可得出S與t的函數關系式．
②當直線m在AC上方時，即當4＜t＜8時，可用矩形OABC的面積-三角形BMN的面積-三角形OCN的面積-三角形OAM的面積來求得．（也可過O作直線m的垂線設垂足為F，那么在直角三角形OMF中，可根據OD的長和∠ODE的正弦值求出OF的長，求MN的方法一樣）．
（4）根據（3）得出的函數的性質和自變量的取值范圍即可求出面積S的最大值及對應的t的值．
解答：解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）當MN=AC時，有兩種情況，
①MN是△OAC的中位線，此時OM=OA=2，因此t=2；
②當MN是△ABC的中位線時，
∴AM=AB=，OA=4，
∴AD===2
∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；

（3）當0＜t≤4時，OM=t
∵由△OMN∽△OAC，得=，
∴ON=，S=t²
當4＜t＜8時，
如圖，∵OD=t，
∴AD=t-4
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4）
∴BM=6-
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12-（t-4）-（8-t）（6-）-=t²+3t
方法二：
易知四邊形ADNC是平行四邊形，
∴CN=AD=t-4，BN=8-t．
由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=6-，
∴AM=（t-4）
以下同方法一．

（4）有最大值．
方法一：
當0＜t≤4時，
∵拋物線S=t²的開口向上，在對稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大
∴當t=4時，S可取到最大值×4²=6；（11分）
當4＜t＜8時，
∵拋物線S=t²+3t的開口向下，它的頂點是（4，6），
∴S＜6．
綜上，當t=4時，S有最大值6．
方法二：
∵S=
∴當0＜t＜8時，畫出S與t的函數關系圖象
如圖所示．
顯然，當t=4時，S有最大值6．
點評：本題考查了矩形的性質，二次函數的應用、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．