Question

已知關于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，且（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求證：n＜0；
（2）試用k的代數式表示x₁；
（3）當n=-3時，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程有兩個不相等的實數根，則△＞0，建立關于n，k的不等式，結合不等式的性質，證出結論；
（2）根據根與系數的關系，把x₁+x₂=k代入已知條件（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，即可用k的代數式表示x₁；
（3）首先由（1）知n＜-k²，又n=-3，求出k的范圍．再把（2）中求得的關系式代入原方程，即可求出k的值．
解答：證明：（1）∵關于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個不相等的實數根，
∴△=k²-4（k²+n）=-3k²-4n＞0，
∴n＜-k²．
又-k²≤0，
∴n＜0．

解：（2）∵（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，x₁+x₂=k，
∴（x₁+x₁+x₂）²-8（x₁+x₁+x₂）+15=0
∴（x₁+k）²-8（x₁+k）+15=0
∴[（x₁+k）-3][（x₁+k）-5]=0
∴x₁+k=3或x₁+k=5，
∴x₁=3-k或x₁=5-k．

（3）∵n＜-k²，n=-3，
∴k²＜4，即：-2＜k＜2．
原方程化為：x²-kx+k²-3=0，
把x₁=3-k代入，得到k²-3k+2=0，
解得k₁=1，k₂=2（不合題意），
把x₁=5-k代入，得到3k²-15k+22=0，△=-39＜0，所以此時k不存在．
∴k=1．
點評：本題綜合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定義、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數的關系以及分類討論的思想．