Question

（2013•茂名）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠F=

3

4

，CD=a，請用a表示⊙O的半徑；
（3）求證：GF²-GB²=DF•GF．

Answer 1

分析：（1）根據等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據切線的定義證明即可；
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACF=∠F，根據垂徑定理可得CE=

1

2

CD=

1

2

a，連接OC，設圓的半徑為r，表示出OE，然后利用勾股定理列式計算即可求出r；
（3）連接BD，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據相似三角形對應邊成比例列式表示出BG²，然后代入等式左邊整理即可得證．

解答：（1）證明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，
即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴點B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F，
∵CD=a，OA⊥CD，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

a，
∵tan∠F=

3

4

，
∴tan∠ACF=

AE

CE

=

3

4

，
即

AE

1 2 a

=

3

4

，
解得AE=

3

8

a，
連接OC，設圓的半徑為r，則OE=r-

3

8

a，
在Rt△OCE中，CE²+OE²=OC²，
即（

1

2

a）²+（r-

3

8

a）²=r²，
解得r=

25

48

a；

（3）證明：連接BD，
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已證），
∴∠DBG=∠F，
又∵∠F=∠F，
∴△BDG∽△FBG，
∴

DG

GB

=

GB

GF

，
即GB²=DG•GF，
∴GF²-GB²=GF²-DG•GF=GF（GF-DG）=GF•DF，
即GF²-GB²=DF•GF．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了切線的證明，解直角三角形，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵，（3）的證明比較靈活，想到計算整理后得證是解題的關鍵．