Question

【題目】閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．

數學課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1，在△ABC中，BA=BC，．點F在AC上，點E在BF上，．點D在BC 延長線上，連接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180゜．探究線段AD與AE的數量關系并證明．

同學們經過思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現∠CAD與∠EAB相等．”

小亮：“通過觀察和度量，發現∠FAE與∠D也相等．”

小偉：“通過邊角關系構造輔助線，經過進一步推理，可以得到線段AD與AE的數量關系．”

老師：“保留原題條件，延長圖1中的AE，與BC相交于點H(如圖2)，若知道DH與AH的數量關系，可以求出的值．”

（1）求證：∠CAD=∠EAB；

（2）求的值（用含k的式子表示）；

（3）如圖2，若，則的值為________（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據BA=BC得出∠BAC=∠BCA，再根據三角形外角和的知識與∠ACD+∠DAE=180゜，∠ACD+∠ACB=180゜得出∠DAC=∠BAE；

（2）方法一：過點C做∠ACM=∠ABE，交AD于點M，證明出△AEB∽△AMC，根據相似比得出，，再根據條件求證△DCM∽△AFE，根據相似比得到，AD=AM+DM=進而得出結果；

方法二：過點B做BN∥AC交AE延長線于點N，證明△AFE∽△NBE，△ACD∽△ABN，根據相似比求解即可；

（3）過點B做BN∥AC交AE延長線于點N，求證△AHC∽DHA，利用相似比得到，再由，，得出，設AH=2a，AB=BC=b，

根據EH=AH-AE=EN-NH和相似得出，；再由△ADH∽△NBH，根據以上所求得出，求解b即可．

(1)∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ACD+∠DAE=180゜，

∠ACD+∠ACB=180゜，

∴∠DAE=∠ACB，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE；

(2)方法一：

過點C做∠ACM=∠ABE，交AD于點M：

∵∠DAC=∠BAE，

∴△AEB∽△AMC，

∴，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∵∠AEF=∠EAB+∠ABE，

∠DMC=∠MAC+∠ACM，

∴∠DMC=∠AEF，

∵∠ACB=∠D+∠DAC，

∠DAE=DAC+∠FAE，

∠DAE=∠ACB，

∴∠D=∠FAE，

∴△DCM∽△AFE，

∴，

∴，

∴AD=AM+DM=，

∴；

方法二：

過點B做BN∥AC交AE延長線于點N：

∴∠N=∠FAE，

∠AFE=∠EBN，

∴△AFE∽△NBE，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵∠ACB=∠D+∠DAC，

∠DAE=DAC+∠FAE，

∠DAE=∠ACB，

∴∠D=∠FAE，

∵∠DAC=∠BAE，

∴△ACD∽△ABN，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）同方法二輔助線

∵∠D=∠CAH，∠AHC=∠DHA，

∴△AHC∽DHA，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

設AH=2a，AB=BC=b，

∴DH=3a, ，

∵NE=2AE，

∴NE=b，

∵EH=AH-AE=EN-NH，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴由方法二相似得：

，

∵△ADH∽△NBH，

∴，

∴，

∴，

∴（舍）， ，

∴；