Question

（2005•蕪湖）小胖和小瘦去公園玩標準的蹺蹺板游戲，兩同學越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25，甚至更高！”
（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明；
（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）小胖的話不對，因為小胖說“真可惜！我現在只能將你最高翹到1米高”，可知B在地面上時，A距離地面1米，利用OP是三角形的中位線可知OP=0.5米，若將兩端同時都再伸長相同的長度，OP依然是三角形的中位線，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架OP高度的兩倍即為1米，所以不可能翹得更高；
（2）能找出，方法是：保持BO長度不變．將OA延長一半至E，即只將小瘦一邊伸長一半，利用相似三角形的性質，可知A離地面的高度：OP=2.5：1，即小瘦距離地面1.25米．
解答：解：（1）小胖的話不對．（2分）小胖說“真可惜！我現在只能將你最高翹到1米高”，情形如圖1所示
OP是標準蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，BC是地面．∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，∴△OBP∽△ABC，∴．（4分）
又∵此蹺蹺板是標準蹺蹺板，BO=OA，∴，而AC=1米，得OP=0.5米．（5分）
若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設為a米（a＞0）．如圖2所示，
BD=a米，AE=a米（6分）
∵BO=OA，
∴BO+a=OA+a，即DO=OE．
∴，同理可得△DOP∽△DEF，
∴，由OP=0.5米，得EF=1米．（7分）
綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架OP高度的兩倍，所以不可能翹得更高．

（2）①方案一：如圖3所示，
保持BO長度不變．將OA延長一半至E，即只將小瘦一邊伸長一半．（8分）
使AE=OA，則，（9分）
由△BOP∽△BEF，得，（11分）
∴EF=1.25米，（12分）
②方案二：如圖4所示，只將支架升高0.125米．（8分）
∵，△B′O′P'′△B′A′C′，
又O'P'=0.5+0.125=0.625米，（9分）
∴，（11分）
∴A′C′=1.25米．（12分）
（注：其它方案正確，可參照上述方案評分！）
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形對應邊成比例即可解答問題．