Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于E，交∠BCA的外角平分線于點F.

(1)求證：EO=FO

(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）當(dāng)O為AC中點時

【解析】

試題分析：（1）由MN∥BC可得∠BCE=∠CEO，再結(jié)合∠BCE=∠ECO可得OE=OC，同理OC=OF，即可證得結(jié)論；

（2）先根據(jù)對角線互相平分的四邊形的證得AECF為平行四邊形，再根據(jù)CE、CF為△ABC內(nèi)外角的平分線可得∠EOF=90°，即可證得結(jié)論.

（1）∵MN∥BC，

∴∠BCE=∠CEO

又∵∠BCE=∠ECO

∴∠OEC=∠OCE

∴OE=OC,同理OC=OF

∴OE=OF；

（2）當(dāng)O為AC中點時，AECF為矩形

∵EO=OF，OA=OC

∴AECF為平行四邊形

又∵CE、CF為△ABC內(nèi)外角的平分線

∴∠EOF=90°，

∴AECF為矩形.

考點：本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定

點評：解答本題的關(guān)鍵熟練掌握鄰補角的平分線互相垂直，一個角是直角的平行四邊形是矩形.