Question

如圖1，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．
（1）在圖1中，你發現線段AC、BD的數量關系是______；直線AC、BD相交成角的度數是______．
（2）將圖1的△OAB繞點O順時針旋轉90°角，在圖2中畫出旋轉后的△OAB．
（3）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，連接AC、BD得到圖3，這時（1）中的兩個結論是否成立？作出判斷并說明理由．若△OAB繞點O繼續旋轉更大的角時，結論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，即可判斷出AC=DB，直線AC、BD相交成角的度數是90°；
（3）中關鍵是證明△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角后，△ACO≌△BOD，即可證明兩個結論仍然成立．
解答：解：（1）∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且疊放在一起，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，即線段AC、BD的數量關系是相等；
由圖可直接看出，直線AC、BD相交成角的度數是90°．

（2）圖如上所畫．

（3）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，則AC仍舊等于BD，直線AC、BD相交成角的度數是90°
∵旋轉一個銳角后，∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，又OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，∴AC=BD．
延長CA交OD于H，交BD于E，
∵△COA≌△DOB，∴∠OCA=∠BDO，又∠DHE=∠CHO，
∴∠CED=∠COD=90°，
將△OAB繞點O繼續旋轉更大的角時，結論仍然成立．
點評：本題考查等腰直角三角形的性質，學生在解決本題時，要認真地觀察圖象，細心作答．