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如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.點P從點B出發,以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動;點Q從點C出發,以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動,到達點B后立即原速返回,若P、Q兩點同時運動,相遇后同時停止,設運動時間為t秒.

(1)當t=      時,點P與點Q相遇;

(2)在點P從點B到點C的運動過程中,當ι為何值時,△PCQ為等腰三角形?

(3)在點Q從點B返回點A的運動過程中,設△PCQ的面積為s平方單位.

①求s與ι之間的函數關系式;

②當s最大時,過點P作直線交AB于點D,將△ABC中沿直線PD折疊,使點A落在直線PC上,求折疊后的

△APD與△PCQ重疊部分的面積.

 

【答案】

解:(1)7。

(2)點P從B到C的時間是3秒,此時點Q在AB上,則

時,點P在BC上,點Q在CA上,若△PCQ為等腰三角形,則一定為等腰直角三角形,有:PC=CQ,即3﹣t=2t,解得:t=1。

時,點P在BC上,點Q在AB上,若△PCQ為等腰三角形,則一定有PQ=PC(如圖1),則點Q在PC的中垂線上。

作QH⊥AC,則QH=PC,△AQH∽△ABC,

在Rt△AQH中,AQ=2t﹣4,

∵PC=BC﹣BP=3﹣t,

,解得:

綜上所述,在點P從點B到點C的運動過程中,當t=1或時,△PCQ為等腰三角形。

 (3)在點Q從點B返回點A的運動過程中,P一定在AC上,

則PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即

同(2)可得:△PCQ中,PC邊上的高是:

∴當t=5時,s有最大值,此時,P是AC的中點(如圖2)。

∵沿直線PD折疊,使點A落在直線PC上,

∴PD一定是AC的中垂線。

∴AP=CP=AC=2,PD=BC=

∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。

如圖2,連接DC(即AD的折疊線)交PQ于點O,過Q作QE⊥CA于點E,過O作OF⊥CA于點F,則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。

則QE=AQ=×4=,EA=AQ=×4=

∴EP=,CE=

設FP=x,FO=y,則CF=

由△CFO∽△CPD得,即,∴

由△PFO∽△PEQ得,即,∴。解得:

∴△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積

【解析】

試題分析:(1)首先利用勾股定理求得AC的長度,點P與點Q相遇一定是在P由B到A的過程中,利用方程即可求得:

在Rt△ABC中,∵∠C=90°,BC=3,AB=5,∴根據勾股定理得AC=4。

則Q從C到B經過的路程是9,需要的時間是4.5秒,此時P運動的路程是4.5,P和Q之間的距離是:3+4+5﹣4.5=7.5。

根據題意得:,解得:t=7。

(2)因為點P從B到C的時間是3秒,此時點Q在AB上,所以分(點P在BC上,點Q在CA上)和(點P在BC上,點Q在AB上)兩種情況進行討論求得t的值。

(3)在點Q從點B返回點A的運動過程中,P一定在AC上,則PC的長度是t﹣3,然后利用相似三角形的性質即可利用t表示出s的值,然后利用二次函數的性質即可求得s最大時t的值,此時,P是AC的中點,直線PD折疊,使點A落在直線PC上,則PD一定是AC的中垂線。因此,連接DC(即AD的折疊線)交PQ于點O,過Q作QE⊥CA于點E,過O作OF⊥CA于點F,則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。應用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的長即可求得△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積

 

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16
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