Question

如圖所示，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，點D是AB上的一個動點，∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

，設CD=x，△EDC的周長為y，求y與x的函數關系式，并求自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：首先根據邊角邊定理證得△ABC∽△EDC．根據相似三角形的性質及CD=x，分別用x表示邊CE、DE的長．進而求得周長y關于x的函數關系式．根據勾股定理知△ABC為直角三角形，x的最小值即為斜邊AB上的高，最大值為AC的長．

解答：∵∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

∴△ABC∽△EDC（2分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，CD=x，
∴DE=

5

3

x，CE=

4

3

x，
∴y=x+

4

3

x+

5

3

x=4x．（4分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠C=90°，
∴

12

5

≤CD≤4，即

12

5

≤x≤4．（6分）

點評：本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的面積計算．解決本題特別需注意根據相似比，用x表示出邊CE、DE的長；勾股定理的幾組特殊值3、4、5，12、5、13等常用的數據；