Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AC=BC=5

2

，點D是

AC

上一個動點，連接AD、CD和BD，BD與AC相交于點E，過點C作PC⊥CD于C，PC與BD相交于點P，連接OP和AP．
（1）求證：AD=BP；
（2）如圖1，若tan∠ACD=

1

2

，求證：DC∥AP；
（3）如圖2，設AD=x，四邊形APCD的面積為y，求y與x之間的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據PC與CD垂直，由垂直定義得到∠PCD為直角，又AB為圓的直徑，由直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADB也為直角，根據同角的余角相等得到∠ACD與∠BCP相等，又AC=BC得到三角形ABC為等腰直角三角形，進而得到∠CAB=45°，根據同弧所對的圓周角相等得到∠CDP=45°，即三角形DCP為等腰直角三角形，所以CD=CP，利用”SAS“即可得到三角形ACD與三角形BCP全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AD=PB；
（2）根據同弧所對的圓周角相等得到∠ABD=∠ACD，則tan∠ACD=tan=∠ABD，在直角三角形ABD中，由正切函數定義得到AD等于BD的一半，由（1）得到AD=PB代入比例式得到P為BD中點，即AP為直角三角形ABD斜邊上的中線，則AP=DP，所以三角形ADP為等腰直角三角形，所以∠APD=45°，又∠CDP=45°，得到一對內錯角相等，從而得到兩直線平行，得證；
（3）四邊形APBC的面積可以分為三角形ACD和三角形APC的面積之和，而三角形ACD與三角形BCP全等，故四邊形的面積可以等于三角形BCP和三角形APC的面積之和，即三角形ABC的面積減去三角形ABP的面積，而P為BD中點，根據等底同高得到三角形ABP的面積與三角形ADP的面積相等，從而得到四邊形的面積等于三角形ABC的面積減去三角形ADP的面積，然后由這兩個三角形都為等腰直角三角形且直角邊分別為5

2

和x，利用三角形的面積公式即可表示出y與x的函數關系式，同時求出自變量x的范圍．

解答：（1）證明：∵PC⊥CD，AB為⊙O的直徑，
∴∠DCP=∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠DCP=∠ACD+∠ACP，∠ACB=∠ACP+∠BCP，
∴∠ACD=∠BCP，
∵AC=BC，且∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
∴△DCP是等腰直角三角形
∴DC=PC，又∠ACD=∠BCP，AC=BC，
∴△ADC≌△BPC，
∴AD=BP；（3分）

（2）證明：∵∠ABD=∠ACD，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=

1

2

（4分）
∴

AD

BD

=

1

2

，∴

PB

BD

=

1

2

，
∴P是BD的中點，（5分）
∴AD=PB=PD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，又∠BDC=45°，
∴∠APD=∠BDC，
∴DC∥AP；（6分）

（3）解：∵△ADC≌△BPC，∴S_△ACD=S_△BCP，
又∵S_△ABP=S_△ADP，△ADP為等腰直角三角形，AD=DP=x，
∴S_△ADP=

1

2

x2，
∵AC=BC=5

2

，△ABC為等腰直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×5

2

×5

2

=25，
則y=S_△ACP+S_△ACD=S_△ACP+S_△BCP
=S_△ABC-S_△ABP
=S_△ABC-S_△ADP
=25-

1

2

x2（0＜x＜5

2

）（7分）

點評：此題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，以及面積的變換與求法．此題的綜合性比較強，難度比較大，在解題時充分利用以上相關知識來考慮，在對全等三角形進行證明時，關鍵是找出對應相等的量，在圓中要關注圓周角，等弧，等弦這些相關量，要注意建立和加強知識間的縱向聯系和橫向聯系，建立良好的知識結構體系，從而更好的提取知識，應用知識，發展數學思維．