Question

如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠A=30°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求線段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先連接BD，由BC為直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可證得BD⊥AC，又由D是AC中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AB=BC，又由等邊對(duì)等角，可求得∠ACB的大小；
（2）在Rt△BCD中，由特殊角的三角函數(shù)，即可求得CD的長(zhǎng)，繼而求得線段AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接BD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
即BD⊥AC，
∵D是AC中點(diǎn)，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A=30°；

（2）在Rt△BCD中，∠ACB=30°，BC=3，
∴CD=BC•cos30°=

3 3

2

，
∵D是AC中點(diǎn)，
∴AC=2CD=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．