Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E．
（1）求證DE是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求△DEC的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由于OB=OD，易得∠B=∠ODB，而由AB=AC可證∠B=∠C，于是∠ODB=∠C，那么OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODE=∠DEC=90°，從而可證DE是⊙O切線；
（2）連接AD，由于AB是直徑，那么∠ADB=90°，而AB=AC，且∠BAC=120°，易求∠B=∠C=30°，∠DAC=60°，利用直角三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半可得AD=

1

2

AB=1，在Rt△ADE中，利用特殊三角函數(shù)值可求AE、DE，從而易求CE，再利用三角形面積公式可求S_△DEC．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，
∵在Rt△AED中，DE⊥AC，∠DAE=60°，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

，DE=sin60°×AD=

3

2

，
∴EC=2-

1

2

=

3

2

，
∴S△DEC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

．

點評：本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、切線的判定和性質(zhì)、直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半．解題的關(guān)鍵是連接OD、AD，證明OD∥AC．