Question

【題目】如圖，已知Rt△EBC中，∠B＝90°，A為BE邊上一點，以邊AC上的點O為圓心、OA為半徑的圓O與EC相切，D為切點，AD∥BC．

（1）求證：∠E＝∠ACB．

（2）若AD＝1，，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）連結OD，通過切線的性質可知OD⊥EC，再由同角的余角相等即可得到∠E＝∠ODA，再根據等腰三角形的性質及平行線的性質即可得到∠E＝∠ACB；

（2）設AB＝x，通過相同銳角的三角函數值相同，即可得到，再根據得到進行求解即可得解.

（1）連結OD

∵AD∥BC，

∴

∴

又圓O與EC相切于D點

∴OD⊥EC

∴

∴∠E＝∠ODA

又OD＝OA

∴∠DAC＝∠ODA

∴∠DAC＝∠E

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠ACB

∴∠E＝∠ACB；

（2）由（1）知，∠E＝∠ACB＝∠DAC，

∴

∴在中，

∵AD＝1

∴

設AB＝x

∵在中，

∴

∵AD∥BC

∴

∴

∴

∴

經檢驗是所列方程的根，

∴．