Question

某生活小區的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上種植花木（如圖1）
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m²，當△AMD地帶種滿花后（圖1中陰影部分），共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用；
（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m²和10元/m²，應選擇哪種花木，剛好用完所籌集的資金；
（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設計一種花壇圖案，即在梯形內找到一點P，使得△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC，并說出你的理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，
∴=（）²=．
∵種植△AMD地帶花費160元，單價為8元/m²，
∴S_三角形AMD=20（m²），
∴S_三角形CMB=80m²，
∴△BMC地帶所需的費用為8×80=640（元）；

（2）設△AMD的高為h₁，△BMC的高為h₂，梯形ABCD的高為h．
∵S_△AMD=×10h₁=20，
∴h₁=4，
∵S_△BCM=×20h₂=80，
∴h₂=8，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•h
=×（10+20）×（4+8）
=180．
∴S_△AMB+S_△DMC=180-20-80=80（m²），
∵160+640+80×12=1760（元），
160+640+80×10=1600（元），
∴應種植茉莉花剛好用完所籌集的資金；

（3）由（2）知梯形高為12，要保證△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPCP點必須在AD和BC的垂直平分線上，且P到AD的距離是P到BC距離的2倍，即到AD的距離應該為8．
分析：（1）由太陽花的單價和錢數可先求出△AMD的面積，再由AD∥BC證出△AMD∽△CMB，根據相似三角形面積之比等于相似比的平方，得出△BMC的面積，從而算出所要花費的錢數；
（2）由△AMD∽△CMB，根據相似三角形對應高的比等于它們的相似比，可求出兩三角形AD與BC邊上的高之比，再根據三角形的面積公式可求出AD邊上的高，從而可求出整個梯形的高及面積．進而求出三角形AMB和三角形DCM的面積和，然后根據兩種花的單價來計算哪種花合算；
（3）由（2）可知整個梯形高為12，要保證△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC，P點必須在AD和BC的垂直平分線上，且P到AD的距離是P到BC距離的2倍，即到AD的距離應該為8．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質以及應用．