Question

【題目】已知：AB、CD為⊙O的直徑，弦BE交CD于點F，連接DE交AB于點G，GO=GD．
（1）如圖1，求證：DE=DF；

（2）如圖2，作弦AK∥DC，AK交BE于點N，連接CK，求證：四邊形KNFC為平行四邊形；
（3）如圖3，作弦CH，連接DH，∠CDH=3∠EDH，CH=2 ，BE=4 ，求DH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，連接BC．

∵OB=OC，

∴∠C=∠OBC=∠E，

∵GO=GD，

∴∠D=∠GOD=∠EBC=∠BOC，

∵∠OBC=∠EBC+∠EBA，∠EFD=∠BOC+∠EBA，

∵∠EBC=∠BOC，

∴∠OBC=∠EFD=∠E，

∴DE=DF．

（2）證明：如圖2中，連接AD、DK、BC．

∵AK∥CD，

∴∠AKD=∠KDC，

∴ = ，

∴ = ，

∴∠ADC=∠KCD，

∵∠ADO=∠OBC=∠OCB=∠E=∠EFD，

∴∠KCD=∠EFD，

∴KC∥FN，∵KN∥FC，

∴四邊形KNFC是平行四邊形．

（3）解：如圖3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，連接EO．

∵ON⊥EB，

∴EN=BN=2 ，

∵∠CDH=3∠EDH，

設∠EDH=x，則∠CDH=3x，∠OHD=∠ODH=3x，∠HOC=∠D+∠OHD=6x，∠GOD=∠GDO=∠BOC=4x，∠HOB=∠HOC+∠BOC=10x，∠EOC=∠ODE+∠OED=8x，∠EOB=∠EOC+∠BOC=12x，

∵∠BON=∠EON=6x，

∴∠HOK=∠BON=6x，

在△OHK和△OBN中，

，

∴△OHK≌△OBN，

∴HK=BN=2 ，

在Rt△CHK中，CK= = =4，

∵CD是直徑，

∴∠CHD=∠CKH=90°，

∵∠C=∠C，

∴△CKH∽△CHD，

∴ = ，

∴DH= = = ．

【解析】（1）如圖1中，連接BC．欲證明DE=DF，只要證明∠E=∠EFD．（2）如圖2中，連接AD、DK、BC．首先證明∠ADC=∠KCD，再證明∠EFD=∠ADC，即可推出∠EFD=∠KCD，推出KC∥FN，由此即可解決問題．（3）如圖3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，連接EO．想辦法證明△OHK≌△OBN，推出HK=BN=2 ，再證明△CKH∽△CHD，得 = ，利用勾股定理求出KC即可解決問題．