Question

如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧AB上的一點，過點M作⊙O的切線MP交OA的延長線于點P，MD與OA交于點N．
（1）求證：PM=PN；
（2）若BC=3，PA=

3

5

BO，過點B作BC∥MP交⊙O于點C，求BO的長．

Answer 1

（1）證明：連接OM交BC于點Q，
∵PM是⊙O的切線，
∴OM⊥MP，
即∠OMP=90°，
∴∠PMN=90°-∠OMD，
∵∠PNM=∠OND=90°-∠ODM，
∵OD=OM，
∴∠OMD=∠ODM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；

（2）由（1）∠OMP=90°，
∵MP∥BC，
∴OM⊥BC，BC=3，
∴BQ=

3

2

，
∵∠BOM+∠MOP=90°，∠P+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠P，
∴sin∠BOQ=sin∠P，
∴

BQ

BO

=

OM

OP

，
∵OB=OM=OA，
∴OP=OA+

3

5

BO=

8

5

BO，
∴

3 2

BO

=

OB

8 5 OB

，
∴OB=

12

5

．